Plan de orientación de Matemática 5º año

ESCUELA MODELO D.E.V.O.N.
PLAN DE ORIENTACIÓN
E.M.D. Página 1 Matemática 5º Ed.Sec.
ASIGNATURA: Matemática
AÑO: 2015
CURSO: 5º Año
NIVEL: Educación Secundaria
PROFESOR/A: Noelia Soledad Spagnolo
 Contenidos Primer Trimestre
Funciones en General
Concepto de función. Representación de funciones. Funciones reales. Clasificación de funciones: algebraicas y trascendentes. Dominio y conjunto imagen. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas. Concepto de función inversa. Composición de funciones.
Funciones polinómicas
Función polinómica, concepto. Dominio. Conjunto imagen. Ceros de la función. Ordenada al origen. Multiplicidad de raíces. Intervalos de positividad y negatividad. Funciones polinómicas y continuidad. Teoremas de funciones continuas y sus aplicaciones: Teorema de Cauchy y Teorema Bolzano-Weierstrass. Análisis y construcción gráfica de funciones polinómicas. Relación entre el gráfico y su fórmula.
 Contenidos Segundo Trimestre
Funciones homográficas- Racionales
Concepto de función racional. Dominio. Conjunto imagen. Ordenada al origen. Ceros de la función. Asíntota vertical, horizontal y oblicua. Determinación de las asíntotas de una función racional. Intervalos de positividad y negatividad. Continuidad en las funciones racionales. Función de proporcionalidad inversa. Análisis y construcción gráfica de funciones racionales.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Concepto de logaritmo. Logaritmación. Propiedades de los logaritmos. Cambio de base. Ecuaciones logarítmicas. Ecuaciones exponenciales. Funciones exponenciales y logarítmicas. Dominio. Conjunto imagen. Ceros. Asíntotas verticales y horizontales. Monotonía de las funciones: crecimiento y decrecimiento. Gráfico aproximado. Crecimiento y decrecimiento exponencial, situaciones de aplicación. Diferenciación entre crecimientos lineales y exponenciales. Funciones exponenciales y logarítmicas como inversas.
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 Contenidos Tercer Trimestre
Semejanza y trigonometría
Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes. El estudio de las razones entre sus aristas, caras y el planteo de la razón entre sus volúmenes desde lo algebraico y la visualización gráfica. Cuerpos redondos, relación entre sus capacidades. Triángulos semejantes. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Sistemas de medición de ángulos. Identidades trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas. Funciones trigonométricas Seno y Coseno y su estudio.
Cónicas
Secciones cónicas. Circunferencia, parábolas, elipses e hipérbolas. Definición geométrica. Obtención de las fórmulas. Vértices. Eje mayor y menor. Centro. Focos. Excentricidad. Eje transversal. Asíntotas. Obtención del gráfico. Problemas de aplicación.
 Criterios de evaluación de la mesa examinadora-Instancia Diciembre
En la instancia de diciembre, aquellos alumnos que presentan algún trimestre aprobado durante el año se los eximirán de rendirlo (criterio institucional), es decir únicamente se evaluarán los trimestres desaprobados.
En primer lugar, los alumnos realizarán la evaluación escrita que se desarrollará en el tiempo estipulado de dos horas (120’). Pueden mencionarse las siguientes situaciones:
.- Si el 70 % de la ejercitación está resuelta correctamente, el alumno aprueba la asignatura en esta instancia.
.- Si el examen está correcto entre el 40% y el 69%, se le darán ejercicios extra (cuya cantidad dependerá del caso) sin margen de error y con tiempo limitado.
.- Si el examen escrito tiene un porcentaje bien resuelto inferior al 39%, está desaprobado y deberá presentarse en la instancia de febrero.
El examen se debe resolver en tinta, salvo los gráficos que pueden hacerse en lápiz.
 Criterios de evaluación de la mesa examinadora-Instancia Febrero
En esta instancia todos los alumnos deberán rendir la materia completa. En cuanto a la modalidad del examen, los porcentajes y tiempos, se desarrollarán de igual modo que en diciembre.
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 Actividades por trimestre
ACLARACIÓN IMPORTANTE: Los ejercicios propuestos en este plan son algunos ejemplos de lo que
se trabajó durante el año, de ninguna manera constituyen un modelo de evaluación, entendiendo que el
alumno debe estudiar y practicar todo lo visto durante el ciclo lectivo y no únicamente lo que figura en
este plan.
PRIMERO
1. Indicar si las afirmaciones son verdaderas y falsas y justificar en ambos casos.
(a) Existe una función cuyo Dmf (x)  R , positiva en  2;00;2 y par.
(b) En una función g cuyo Dmf (x)  R 3;3 es posible que  ;33;11;1  C ,
     C 1;3 3; y los ceros se verifiquen en x  1 y x 1
(c) No existen funciones cóncavas (o convexas) en todo intervalo de su dominio.
2. Hallar el dominio de cada función y representar en la recta numérica.
2 4 3 3 1
1
( ) ( )
1
2
( ) ( )







x
x
x
b g x
x
x
a f x
3. Dada la función representada, realizar un estudio completo: Dominio, conjunto imagen, ordenada al
origen, abscisa al origen, intervalos de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento,
extremos absolutos y relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión, e indicar si es par
o impar.
        








x
y
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4. a) Dadas las siguientes funciones, graficar e indicar: dominio, raíces y orden de multiplicidad, ordenada al
origen, conjunto de positividad y negatividad:
f (x) x 4x 4x 3 2    ( ) 2 2 3 2 f x  x  x  x  ( ) 3 9 27 3 2 f x  x  x  x 
b) Hallar la fórmula de una función polinómica de grado 11 cuya ordenada al origen sea -7, sus únicas raíces
sean -5, -1, 3 y 9, y su conjunto de positividad sea C  5; 1 9;        . Realizar el gráfico aproximado.
5. Se quiere estudiar la variación de la temperatura promedio de la superficie de un planeta, sabiendo que
recibe radiaciones de una estrella cuya temperatura aumenta, aunque muy lentamente. La temperatura
promedio del planeta se puede calcular a través de la siguiente fórmula   3 2 T(x)  x 5x 3. x 3 con x en
millones de años y T en Cº. Se desea averiguar si un período de 4 millones de años, la temperatura promedio
puede llegar a tomar el valor de 0ºC.
6. Utilizar f (x)  3x 5 y 2 g(x)  2  x ambas de R en R, para evaluar las expresiones que siguen.
(e) fog-1(x) (f) (fog)-1(x) (g) h-1og(0) (h) f-1og (-1) (i) (fog)-1(2)
SEGUNDO
1. Dadas las siguientes funciones, hallar: dominio, intersección con los ejes, conjuntos de positividad y de negatividad,
asíntotas y gráfico aproximado:
       
16
9
( )
2 4
1
( )
1
2
( )
4
3
( ) 2
2
2 2 2 










x
x
d f x
x
x
c f x
x
x
b f x
x
x
a f x
     
7 12
1
( )
5 6
( )
2 1
4 4
( ) 2
2
2
2
2
2
 


 

 
 

x x
x
g f x
x x
x
f f x
x x
x x
e f x
2.
a) Sea
2
2
3 1
( )
6
x
f x
x ax


 
. Determinar el valor de aR para que la recta de ecuación x  2 sea asíntota
vertical de f . Para el valor encontrado de aR, escribir las ecuaciones de todas las asíntotas de f .
b) Sea
3
f (x) b
x a
 

. Determinar a,bR para que las rectas de ecuaciones
3
1 ,
2
x   y  sean asíntotas
de f .
c) Encontrar posibles valores de los números reales a, b c y d para que la función ( )
ax b
f x
cx d



tenga asíntota
horizontal en y  4 , tenga ordenada al origen en 0, su gráfica pase por
2
1;
3
 
 
 
y el término independiente
del denominador es 1.
3. Resolver aplicando propiedades (NO usar calculadora)
 
 



 



  
25
147
7 3
5
5
7 3
1 log
5
7 3
M   



 




25
49
log
25
36
2 log
6
5
7
5 M
 
 



 



  
9
28
2 7
3
3
2 7
3 log
3
2 7
M   



 




4
9
log
25
49
4 log
7
5
3
2 M
4. Resolver las ecuaciones verificando los resultados:
1 7 7 56 1 2   x x 2 log 2 1 log 4 2 2 2 2 x   x   
3 9 3 28 1 2   x x   log  6 1
3
1
4 log 3 3      



x x
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5. Graficar las siguientes funciones, indicando: dominio, codominio, ceros, ordenada al origen, intervalos de
monotonía, intervalos de positividad y negatividad, asíntotas.
   
   
     
1
2
2 1
3
2
5
1
( ) ( ) log 2 1 -3 ( ) 2
2
1
( ) ( ) log 3 2 -1 ( ) 3
4
( ) log 3 1 1 f ( ) 4 3
x
x
x
a f x x b f x
c f x x d f x
e f x x f x
 
 
   
    
    
6. Una sustancia radiactiva se desintegra de forma que la cantidad de masa que queda después de t días está dada por
la función: 0,015 ( ) 13. t m t e  donde m(t) se mide en kilogramos.
a) Determine la masa inicial.
b) ¿Cuánta masa queda después de 45 días?.
c) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que la masa sea de 6,5 kg?
TERCERO
1.
(a) Sabiendo que  
4
1
cos   , y que 270º  360º . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo  .
(b) Sabiendo que tg   2 tg α = 2, y que 180º  270º 180º < α <270°. Calcular las restantes razones
trigonométricas del ángulo  .
(c) Sabiendo que sec   2 ,
2
0

  , calcular las restantes razones trigonométricas.
2. Un rayo láser debe ser dirigido hacia el centro de la Luna pero el rayo se desvía 0,5 grados de su trayectoria.
a) ¿Cuánto se ha desviado de su objetivo cuando llegue a la Luna? (La distancia de la Tierra a la Luna es de
240.000 millas)
b) El radio de la Luna es de aproximadamente 1.000 millas. ¿Impactará el rayo sobre la Luna?.
3. Un depósito de agua está a 325 pies de un edificio. Desde una ventana del edificio se observa que el ángulo de
elevación hasta la parte superior del depósito es de 39º y el ángulo de depresión a la parte inferior es de 25º. ¿Cuál
es la altura del depósito?. ¿A qué altura está la ventana?.
4. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:
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5. Graficar las siguientes funciones, determinando la amplitud, ángulo de fase, período, puntos críticos, dominio,
conjunto imagen, ceros, intervalos de monotonía, intervalos de positividad y negatividad, extremos locales, intervalos
de concavidad positiva y negativa:
6. Graficar las secciones cónicas que representan las siguientes ecuaciones, e indicar todos sus elementos:
 
 
 
 
2 2
2 2
2 2
2
16 25 160 50 25
16 25 160 50 25
10 2 374
4 10 0
a x y x y
b x y x y
c x y x y
a y x
   
   
   
 